解決磊晶層厚度均勻度的非線性模式
矽厚度均勻度是以化學氣相沉積(CVD)法成長磊晶層(epitaxial layers)的一種品質特性衡量指標，半導體廠的工程師都依賴試誤(嚐試與錯誤)方式的經驗，以改善厚度均勻度。最近10至12年所報導的一些新式線性模式分析技術，在定量描述製程變數對沉積層厚度分佈的影響時，能提供顯著的優點，而且成功的應用於許多的製程上。於此所描述的案例，則顯示非線性技術能較線性模式提供一個數量級的精確度。
磊晶圓(Epitaxial silicon wafers)通常作為個別電子元件(discrete electronic devices)、積體電路(ICs)以及微機電元件製程的基材，磊晶層並以化學氣相沉積法進行沉積。視其應用，磊晶層的厚度變化可從小於1微米到大於100微米，在某些狀況，降低磊晶層厚度變異性為首要之務，包括晶圓間與晶圓內的變異。此種結構都在水平式單晶圓反應器內製造，反應器有足夠的穩定度與適應性以減少厚度變異。對普通厚的磊晶層，使用1100~1150蚓的常壓製程，並以氫氣為載氣(carrier gas)，三氯矽烷(Trichlorosilane, TCS)為氣體源(source gas)。此種製程能以3.5~5微米/分的沉積速率達到相當高的產能。
磊晶層的成長速率受載氣中的溫度與TCS濃度影響，同時由於其高製程溫度，成長速率主要受到含矽物種(silicon containing species)在氣流(gas stream)邊界層擴散的限制，邊界層厚度為氣體速度的函數，所以即使TCS莫耳分率(mole fraction)保持固定，如果載氣流動速率改變，沉積速率即改變。另外，成長速率在氣體流動方向強烈變化。基本上，晶圓前緣(leading edge)的局部成長速率可能以25%~35%的比例高於晶圓後緣(trailing edge)。
為了獲得良好的厚度均勻度，晶圓在沉積過程中必須旋轉，所以厚度分佈會形成徑向對稱(radially symmetric)，藉著晶圓溫度分佈的改變，可稍稍調整徑向厚度分佈。不過對於穩定的製程，主要是藉著氣流橫向速度分佈(lateral velocity profile)的改變進行調整，同時也改變了橫向邊界層厚度與局部沉積速率。為了進行此種速度分佈控制，所使用的反應器(ASM Epsilon)裝配了五只可調噴嘴。實際上，僅有三個可調參數，因為流動型態經常儘可能的維持對稱，以避免在成長腔體內的可能逆流效應(backstreaming effects)。所以噴嘴1與噴嘴5有相同的開口尺寸，噴嘴2與噴嘴4亦然，依據圖一的術語，I1 = I5, I2 = I4。
化學氣相沉積製程模式分析
即使是幾何型態最簡單的反應器，化學氣相沉積的物理模式分析也是相當複雜與費時，同時經驗模式(empirical modeling)的常用統計技術為線性方式，而且表現並不佳(參考小宮山等所評論用於CVD製程的數學模式[1])。
化學氣相沉積製程的模式分析，於1980年代傳統上是利用計算流體動力學完成，當時由於一些充分的理由，人們並不滿意經驗模式。於彼時，計算能量剛剛達到能運算一些處理時間與空間的偏微分方程式。
有限元素法於1980年代仍相當新穎，尤其應用於實際的工程問題時。另一方面，因為經驗模式並不具備以類神經網路(artificial neural networks)發展的新技術所擁有的優點，所以經驗模式的效果並不好。
儘管大自然並不以線性方式的簡單性運作，線性技術支持者仍利用於線性迴歸加入非線性項的簡單性與可行性。然而，加入了非線性項經常還是無法達到目標，即使做到了，也無法充分近似。
目前非線性經驗模式分析於製程改善較物理模式分析更為可行。因此，可以應用例如類神經網路的非線性模式分析新技術。此技術具備了所謂的泛用近似能力(universal approximation capability) [2]，足以適用於大部分製程業界所遇到的功能近似需求。於發展此模式時，使用者無須知道非線性的型態與嚴重性。
類神經網路
類神經網路在結構與較小範圍的功能上，都類似生物系統的神經元網路。如同腦部的神經元網路，類神經網路包含了在層狀組織內的神經元，此些神經元指向鄰近層的神經元，並與之連接(圖二)。
製造業界使用多種類型的類神經網路已達十年之久，經常使用於製程控制與產品研發─以及其他實際的應用上[3, 4]。最常見的多層認知(multilayer perceptron)網路為前饋(feedforward)神經網路的一種；業界最常應用的神經網路[5-13]也都基於此型態。非線性模式也能以許多方式達成。
於前饋神經網路(feedforward neural network)，每個神經元i的輸出為：
於此活化函數(activation function)經常為logistic S型(sigmoid)函數，能以下式表示：
進入神經元的輸入訊號為xj，wij為每一個輸入訊號連結到第i個神經元的權值，wio項稱之為偏差參數，因此產生了連接輸入變數與輸出變數的一組代數方程式。所以對每個觀察值(一組輸入與輸出變數)，依據所給與的權值，從此些方程式可預測其輸出。訓練過程目的在找出產生預測誤差平方總和最小值的權值。
目前有多種訓練方法正在使用中，逆傳遞(Back-propagation)方法為約十年前最常使用的訓練方法，現今最常使用像Levenberg- Marquardt method [14-16]此種非常好的最佳化方式。
線性與非線性模式分析的比較
非線性模式分析為經驗式或半經驗式的模式分析，模式至少將一些非線性置入分析考量。為了僅可能從有限的數據、或者從數據稀疏的訊息內容去近似非線性，經常需要將神經網路與其他的經驗式模式合併，或著與部份物理模式合併。
不同條件的實驗結果，產生了59點數據的厚度分佈，利用NLS 031軟體構成非線性模式以預測厚度分佈。
沉積層邊緣厚度量測值與非線性模式預測值的比較顯示於圖三，中央位置的模式厚度預測值較佳。相反的，圖四顯示了具備相同輸入與輸出變數的線性迴歸模式結果。
線性模式與非線性模式經常有相似的準確性，非線性模式至少須與線性模式一般精確，而且在許多方面是更為準確，不過在數量上其所改善的程度有限。就本篇論文所討論的數據而言，線性模式與非線性模式之間有相當程度的差距。
圖五顯示沉積層三處位置的厚度模擬分析結果，於線性模式此些厚度的誤差變異性較非線性模式高出一個數量級。
圖六顯示當其他的輸入參數保持固定時，噴嘴開口4對邊緣厚度的影響。由Nonlinear Solutions Oy公司經由數年所發展的LUMET系統概念，為一種框架式架構，非線性模式可以加入此系統內。由於非線性模式於進行代數運算時，相當的複雜與龐大，所以必須以架構方式提供此非線性模式，得以讓工程師能使用軟體，而無須詳細的了解軟體如何運算。此概念已經使用於數種應用上─從鋼條到光纖電纜─每一種應用都不同，其目的也不同。使用LUMET概念，如果解答存在，則可能找出能滿足所需條件的製程參數。於附表中，僅有噴嘴開口3、4與5能在限制範圍內變動，並期望厚度盡量保持均勻。第三欄顯示所能找到最佳噴嘴開口尺寸的解決方式。
結論
即使是相當大的非線性模式在計算輸出時，也僅需要點幾秒的時間，所以非線性模式一般都較物理模式分析為快；物理模式涉及微分方程運算，因此需要更長的時間去計算目標變數。不過，這些都要付出很高的代價，非線性模式分析對一般工程師而言較為複雜，方程式可能龐大而且麻煩的難以整理，包含了一些難以詮釋的參數。即使是適用於業界相當簡單的非線性模式，都需要相當的經驗與專門知識去發展。非線性模式的發展需要適當的數據，而這些數據都很難獲得，特別是當做為模式基礎的非線性仍不清楚，或者實驗昂貴。模式發展也需要相當的時間，即使以一個月的時間去發展一個工業模式仍嫌太短，所以非線性模式的發展相當昂貴。
不過由發展非線性模式所獲得的好處顯示，其所花費的代價仍然值得，因為不像依據物理法則與簡化假設的物理模式，非線性模式不須做任何假設，即可顯示實際狀況，同時較應用於物理模式中相當簡單的方程式，有更高的能力去描述實際環境。換言之，非線性模式經常為一個較佳的模式，因為非線性模式有助於獲得更嚴謹的製程控制與更佳的產品。SST-AP/Taiwan
致謝
Epsilon為ASM International NV註冊商標。
參考資料
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12. A. Bulsari, M. Lahti,